Définition :
Soit \(X\) une v.a. Définie sur l'espace probabilisé \((\Omega,{\mathcal F},P)\)
La loi de probabilité de \(X\) est une fonction \(f\) telle que, pour toute tribu \(A\in{\mathcal F}\), la probabilité que \(X\) prenne une valeur dans cet ensemble est donnée par : $$P(X\in A)=\int_Af(x)\,dx$$
Définition :
Pour \(X\) une variable aléatoire, note \({{p_k}}={{P(X=x_k)}}\) pour chaque \(x_k\in X(\Omega)\)
On a alors : $${{P_x}}:\begin{align}{\mathcal P}({\Bbb R})&\longrightarrow[0,1]\\ B&\longmapsto P_x(B)={{\sum_{x_k\in B}p_k=P(X\in B)}}\end{align}$$
De plus, \(P_x\) est une probabilité sur \(({\Bbb R},{\mathcal P}({\Bbb R}))\) appelée loi de \(X\)
Remarque :
Les \(p_k\) pour tous les \(x_k\in X(\Omega)\) suffisent à déterminer la loi de \(X\) (si \(X\) discrète)
Ils sont positifs et de somme \(1\)
Caractérisation
Un ensemble \(\{(x_k,p_k),k\in I\}\), avec \(I\) fini ou dénombrable définit une loi de probabilité si et seulement si :
Proposition :
Si \(X(\Omega)\subset{\Bbb N}\), alors \(\forall k\in{\Bbb N}^*\), $${{{\Bbb P}(X=k)}}={{\begin{align}&P(X\leqslant k)-{\Bbb P}(X\leqslant k-1)\\ &P(X\geqslant k)-{\Bbb P}(X\geqslant k+1)\end{align}}}$$
Proposition :
Soit \(X_1,\ldots,X_n\) des variables aléatoires discrètes i.i.d à valeur dans \({\Bbb N}\)
On pose \(Y_n={{\max(X_1,\ldots,X_n)}}\)
On a : $${{{\Bbb P}(Y_n\leqslant k)}}={{{\Bbb P}(X_1\leqslant k)^n}}$$
Proposition :
Soit \(X_1,\ldots,X_n\) des variables aléatoires discrètes i.i.d à valeur dans \({\Bbb N}\)
On pose \(Z_n={{\min(X_1,\ldots,X_n)}}\)
On a : $${{{\Bbb P}(Z_n\geqslant k)}}={{{\Bbb P}(X_1\geqslant k)^n}}$$
(Variable aléatoire discrète, Variables aléatoires indépendantes)
Propriétés
Caractérisation de la variable aléatoire
On a : $${{X\overset{ps}=Y}}\implies {{X\text{ et }Y\text{ ont la même loi} }}$$
Caractérisation via une formule de transfert
On a : $${{X\text{ et }Y\text{ ont la même loi} }}\iff{{\forall f\text{ mesurable}, \quad{\Bbb E}(f(X))={\Bbb E} (f(Y))}}$$
Quelques formules
Proposition :
Pour toute fonction \(f\) croissante, on a : $${{\Bbb P(X\geqslant x)}}={{\Bbb P(f(X)\geqslant f(x))}}$$
Proposition :
On a : $${{\int_\Omega f(X(\omega))\,dP(\omega)}}={{\int_E f(x)\,dP_X(x)}}$$
